1. Was ist der Einheitskreis?
Stell dir einen Kreis vor, dessen Radius genau 1 Einheit lang ist. Der Mittelpunkt liegt im Ursprung eines Koordinatensystems (0, 0).
Warum 1? Weil es das Rechnen enorm vereinfacht! Auf diesem Kreis bewegen wir uns gegen den Uhrzeigersinn, startend bei der positiven x-Achse.
2. Das Dreieck im Kreis
Jeder Punkt auf der Kreislinie bildet mit dem Ursprung (0,0) und der x-Achse ein rechtwinkliges Dreieck. Normalerweise lauten die Formeln am Dreieck so:
- Sinus (sin) = Gegenkathete / Hypotenuse
- Kosinus (cos) = Ankathete / Hypotenuse
Das Geniale am Einheitskreis: Die Hypotenuse (der Radius) ist immer exakt 1! Dadurch fällt das lästige "geteilt durch" einfach weg:
3. Bogenmaß: Winkel als echte Wegstrecke
Statt 360 "Grad" als erfundene Einheit zu nutzen, können wir den Winkel als echte gelaufene Strecke auf dem Kreisrad angeben.
Gradmaß 360° für einen vollen Kreis.
Bogenmaß Das Bogenmaß IST die Bogenlänge (b)! (siehe orangene Linie).
Da r = 1, gilt: b = Winkel
Ein voller Kreis hat den Umfang 2·π·r. Weil unser Radius 1 ist, lautet der Umfang einfach 2π. Eine komplette $360^\circ$-Drehung ist also exakt eine abgelaufene Bogenlänge von 2π.
Wichtige Winkel:
4. Umrechnen: So rechnest du um!
Da 180° genau π (einem halben Kreisbogen) entspricht, gibt es zwei einfache Formeln:
- Grad in Bogenmaß (wieviel mal π passt rein?):
rad = grad · (π / 180) - Bogenmaß in Grad (umkehren):
grad = rad · (180 / π)
Tippe eine Zahl ein, um beide Seiten zu berechnen und den Kreis zu verändern!
5. Taschenrechner: sin() & sin⁻¹()
Was macht der Taschenrechner eigentlich? Das lässt sich am Einheitskreis super erklären!
Die normale „sin“-Taste: Du gibst den Winkel ein, der Rechner sucht den Punkt auf dem Kreis und spuckt dir die Höhe (y-Koordinate) aus.
sin(°) =
0.50
Die Umkehrfunktion („sin⁻¹“ oder „arcsin“): Du gibst die gewollte Höhe ein (zwischen max. -1 und +1), und der Rechner rechnet rüber zum Kreis und sagt dir, bei welchem Winkel der Punkt sitzt.
sin⁻¹() =
30.00°
6. Die Sinuskurve
Was passiert, wenn wir die Höhe des Punktes (den Sinus) aufzeichnen, während er einmal um den Kreis wandert?
Aus dem Kreis entsteht eine Welle – die Sinuskurve! Klicke auf den Button, um den Kreis "abzurollen".
7. Warum Periodizität?
Periodisch bedeutet: Es wiederholt sich immer wieder. Wenn du einmal um den Kreis herum bist (360° oder 2π), beginnst du wieder am Anfang.
Deshalb gilt: sin(30°) = sin(390°)
Egal wie oft du dich im Kreis drehst, die Höhe (der Sinus) durchläuft immer wieder die gleichen Werte von -1 bis +1.
8. Der Differenzenquotient (Steigung)
Willst du die durchschnittliche Steigung der Kurve zwischen zwei Punkten wissen? Dafür gibt es den Differenzenquotienten (oder die mittlere Änderungsrate, das "Steigungsdreieck"):
f(x) = x₁ =
bis
x₂ =
y₁ = f(x₁) = -2.00y₂ = f(x₂) = 6.00m = 8.00 / 2.00 = 4.00
Schau auf die rechte Seite: Die weiße Kurve ist deine Funktion f(x), die blaue / pinke Markierung zeigt dir die Punkte an den Stellen x₁ und x₂, und das cyan-farbene ist dein exaktes Steigungsdreieck!
9. Die Allgemeine Sinusfunktion
Die Form der Welle kann ganz leicht durch Parameter verändert werden. Die allgemeine Form lautet:
Lies dazu einfach den höchsten Punkt (Maximum) und den tiefsten Punkt (Minimum) der Welle ab!
- d (Mittellinie) = genauer Durchschnitt:
d = (Max + Min) / 2 - a (Amplitude) = halber Abstand:
a = (Max - Min) / 2
Max = 1.00 | Min = -1.00Das ergibt rechnerisch:
d = (1.00 + -1.00) / 2 = 0.00a = (1.00 - -1.00) / 2 = 1.00
10. Funktionsfamilien im Überblick
Wähle eine Funktionsart aus, um ihre Grundform und Parameter direkt auf der Zeichenfläche zu studieren:
- b liest man direkt ab: Es ist der y-Wert bei x = 0 (Achsenabschnitt).
- m berechnet man mit zwei Punkten über das Steigungsdreieck:
m = Δy / Δx = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)